미분 가능한 이미지 표현을 위한 소프트 이방성 다이어그램

기존의 신경망 기반 이미지 표현 방식은 학습 속도가 느리거나 경계면이 흐릿해지는 한계가 있었다. SAD는 기하학적 구조인 Apollonius diagram을 딥러닝에 도입하여 이미지의 날카로운 경계면을 정확하게 표현하면서도 학습 속도를 획기적으로 개선했다.

기존의 2D Gaussian Splatting과 같은 방식은 여러 커널이 겹치면서 픽셀의 책임을 분산시키기 때문에 경계면이 흐릿해지거나 최적화가 복잡해지는 문제가 있다. SAD는 이를 해결하기 위해 공간을 명확하게 나누는 Voronoi diagram 개념을 도입하되, 미분 가능성을 확보하기 위해 Softmax를 결합했다.

각 픽셀은 가장 가까운 몇 개의 '사이트(site)'들에 의해서만 결정되도록 설계되었다. 이때 단순히 거리만 재는 것이 아니라, 사이트마다 고유한 방향성(anisotropy)과 영향력 범위(radius)를 학습하게 함으로써 이미지의 복잡한 질감과 날카로운 선을 효과적으로 모사한다.

결과적으로 SAD는 픽셀과 사이트 간의 관계를 명확히 정의하면서도 Softmax의 온도 조절을 통해 학습 초기에는 부드럽게, 학습 후기에는 날카롭게 경계를 다듬어 나간다. 이는 연산량을 픽셀당 고정된 수치로 제한하면서도 기존 방식보다 훨씬 정교한 결과물을 만들어내는 핵심 원동력이 된다.

이미지를 N개의 이방성 사이트 집합으로 모델링한다. 각 사이트는 위치, 색상, 온도, 반지름, 이방성 방향 및 크기 파라미터를 가진다. 픽셀 x의 렌더링을 위해 이방성 노름을 포함한 가중치 거리 점수 d_mix(x, i) = s||x - p_i||_Gi - r_i를 계산한다. [픽셀 위치와 사이트 파라미터를 입력으로] → [이방성 행렬 Gi를 적용한 거리 연산 후 반지름 r_i를 차감하여] → [최종 거리 점수를 산출하고] → [이 값이 작을수록 해당 사이트의 영향력이 커짐을 의미한다].

효율적인 연산을 위해 모든 사이트를 검사하는 대신 픽셀당 Top-K(K=8) 리스트를 유지한다. Jump Flooding Algorithm(JFA)을 활용해 후보를 전파하며, 공간적 전파와 무작위 주입을 병행하여 전역적인 최적 후보를 찾아낸다. [이전 단계의 후보와 인접 픽셀의 후보를 입력으로] → [현재 픽셀에서의 거리 점수를 재계산하여 상위 K개를 선택하는 연산을 수행해] → [업데이트된 Top-K 리스트를 얻고] → [전체 사이트를 전수 조사하지 않고도 근사적인 최적해를 유지한다].

학습 과정에서는 그래디언트 가중치 기반 초기화와 Adam 최적화 도구를 사용한다. 특히 그래디언트 충돌을 방지하기 위해 타일 단위의 스레드그룹 해시 리덕션(Threadgroup hash reduction) 기법을 적용하여 GPU 메모리 대역폭 효율을 높였다.

Kodak 데이터셋에서 50,000개의 프리미티브를 사용했을 때 46.00 dB PSNR을 기록했다. 이는 기존 Image-GS(28초)보다 약 13배 빠른 2.2초 만에 인코딩을 완료한 결과이다. DIV2K 및 CLIC 데이터셋에서도 동일 비트레이트 대비 Image-GS 및 Instant-NGP를 일관되게 능가하는 성능을 보였다.

학습 속도 면에서는 Instant-NGP 대비 1.753.36배, Image-GS 대비 4.0815.10배의 에포크당 속도 향상을 달성했다. 특히 고해상도 이미지(2k 이상)에서 선형적인 확장성을 보이며 실용적인 인코딩 시간을 입증했다.

SAD 아키텍처는 Apollonius diagram의 미분 가능한 확장판으로 볼 수 있다. 각 사이트는 위치 p, 색상 c, 온도 tau, 반지름 r, 이방성 파라미터(u, a)로 정의된다. 렌더링 시 Softmax blend 가중치 w_i(x)는 exp(-tau_i * d_mix(x, i))에 비례하며, 이는 온도 tau가 높을수록 경계가 날카로워지는 효과를 낸다. 기존 Gaussian Splatting이 커널 중첩에 의존하는 것과 달리, SAD는 공간 분할(Partition of Unity)을 통해 각 픽셀의 기여 사이트를 명확히 제한한다. 구현 측면에서는 CUDA, Metal, WebGPU 백엔드를 모두 지원하며, 모든 연산이 CPU 개입 없이 GPU 내부에서 완결되도록 설계되어 호스트-디바이스 간 병목 현상을 제거했다.