방향 도함수와 헤시안으로 표현한 두 번째 도함수 유도 (화이트보드 강의)

이 게시물의 이미지 자료는 다변수 함수 A(z)를 특정 방향 v를 따라 움직이는 경로 z(t)=x+tv로 매개변수화하여 그 경로 위의 단일변수 함수 g(t)=A(z(t))를 정의하는 방법을 제시한다. 다변수 체인룰을 적용하면 g'(t)=Σ_i ∂A/∂z_i · dz_i/dt가 되고, dz/dt=v를 대입하면 g'(t)=∇A(z(t))·v로 정리되어 방향 도함수는 gradient와 방향벡터의 내적으로 계산된다는 점이 핵심이다.

편미분 항들을 t에 대해 한 번 더 미분하면 이중 합이 등장하고, dz_j/dt=v_j로 치환하면 두 번째 도함수는 성분 합 형태로 표현된다. 이 합을 행렬 표기법으로 모으면 g''(t)=v^T ∇^2 A(z(t)) v라는 간결한 이차 형식이 되어 헤시안이 방향별 곡률 정보를 전달한다.

따라서 방향 도함수와 두 번째 방향 도함수 유도는 gradient와 Hessian을 통해 수치적으로 구현·해석할 수 있으며, 최적화·민감도 분석에서 특정 방향의 증감 및 곡률 판별에 바로 적용할 수 있다.